Pengembangan teori kuantum telah menghasilkan pengetahuan yang luas tentang interaksi antara partikel dan potensial. Salah satu aspek penting dalam studinya adalah backscattering, yaitu pembalikan partikel oleh suatu barrier. Dalam artikel ini, kita akan membahas validitas dari dua metode approximasi yang umum digunakan dalam menyelesaikan masalah tersebut: metode WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) dan metode Born.

Equations Dasar

Kita mulai dengan persamaan Schrödinger statis dimensi satu:

d²ψ/dx² + [E – V(x)] ψ = 0

dimana E > 0 adalah energi, V(x) adalah potensial yang terbatas dan analitis, serta L adalah skala panjang longitudinal yang khas. Dengan mengintroduksi variabel z = k0x dan fungsi U(x/L) = U(εz) ≡ V(x)/V0, kita dapat menurunkan persamaan di atas ke bentuk dimensi-los:

ψ″ + [1 – δU(εz)] ψ = 0

dimana V0 adalah amplitudo maksimum potensial dan k0 adalah konstanta yang terkait dengan panjang gelombang.

Backscattering oleh Barrier Deterministik

Kita akan membahas aplikabilitas domain dari metode WKB dan Born, serta dependensi R(δ, ε) dengan contoh-contoh potensial analitis U(εz). Contoh I (Gambar 1a):

U(εz) = 11 + e-εz

Ketika energi partikel lebih besar daripada tinggi maksimum potensial (δ < 1, scattering di atas barrier), solusi akurat untuk koefisien refleksi adalah [1]:

R(I) = [sh(πε) – 1 (1 – 1-δ) sh(πε) – 1 (1 + 1-δ)]²

Jika kondisi δ ≪ 1 dipenuhi, ekspansi Taylor dari persamaan di atas memberikan:

R(I) ≈ (πδε)² e-4π/ε at δε ≪ 1

Contoh lainnya adalah U(εz) = 11 – e-εz. Kita dapat melihat bahwa koefisien refleksi R(I) tidak bergantung pada detail bentuk barrier, tetapi hanya tergantung pada tinggi dan lebar barrier.

Localization dalam Potensial Random

Penelitian lain menunjukkan bahwa scattering oleh potensial random satu dimensi yang panjang L0 dapat menghasilkan efek lokalization jika L0 cukup besar. Artinya, koefisien transmisi pada realisasi tipikal (yang paling probabilitas) adalah eksponensially kecil: Ttyp ∼ e-2L0/lloc, (L0 ≫ lloc). Disini lloc adalah panjang lokalization yang didefinisikan sebagai lloc-1 = -(2L0)-1〈lnT〉.

Pembahasan

Analisis komparasi antara metode WKB dan perturbasi telah dilakukan dalam bagian sebelumnya. Hasilnya menunjukkan bahwa, ketika digunakan untuk menghitung koefisien refleksi pada scattering lemah (δ ≪ 1) dan potensial halus (ε ≪ 1), domain validitas kedua metode tidak terbersihkan. Dalam peta (δ, ε) mereka dipisahkan oleh garis α(δ, ε) = 1, di mana keduanya memberikan hasil yang sama.

Pengakuan

Kami berterima kasih kepada INTAS (Grant 03-55-1921) dan Ukranian President Grant for Young Scientists GP/F8/51 yang telah membantu dalam penelitian ini.