Induksi matematika adalah suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan pernyataan tentang semua bilangan asli. Dalam artikel ini, kita akan membahas penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan dan balok domino.
P(n) = n³ + 2n dapat habis dibagi 3
Pada awalnya, kita akan membuktikan bahwa pernyataan P(n) = n³ + 2n dapat habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli n. Langkah awal adalah dengan menguji pernyataan ini untuk n = 1.
Maka, P₁ : 1³ + 2.1 = 3
Jadi, P₁ benar.
Langkah induksi adalah sebagai berikut: asumsikan bahwa pernyataan P(k) = k³ + 2k dapat habis dibagi 3. Maka, kita akan menunjukkan bahwa pernyataan P(k+1) juga benar.
P(k+1) = (k+1)³ + 2(k+1)
Karena k³ + 2k dapat habis dibagi 3 dan 3(k² + k + 1) juga dapat habis dibagi 3, maka (k³ + 2k) + 3(k² + k + 1) pasti dapat habis dibagi 3.
Jadi, pernyataan P(k+1) benar.
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa pernyataan P(n) = n³ + 2n dapat habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli n.
Pembahasan Induksi Matematika pada Ketidaksamaan
Pada bagian ini, kita akan membahas pembuktian induksi matematika pada ketidaksamaan. Jenis ketidaksamaan ini ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari dalam pernyataannya.
Sifat-sifat yang sering digunakan untuk pernyataan jenis pertidaksamaan adalah sebagai berikut:
- a < b < c ⇒ a < c
- a > b > c ⇒ a > c
- a > b ⇒ a + c > b + c
- a < b ⇒ a + c < b + c
Contoh soal ketidaksamaan adalah sebagai berikut: buktikanlah untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku 3n > 1 + 2n.
Pembahasan:
P(n) : 3n > 1 + 2n
Langkah awal: misal n = 2, maka P₁ : 32 > 1 + 2.2 = 5
Jadi, P₁ benar.
Langkah induksi: misal P(k) : 3k > 1 + 2k, k ≥ 2
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar, maka P(k+1) juga benar, yaitu:
3(k+1) > 1 + 2(k+1)
Karena pada langkah sebelumnya sudah diketahui bahwa 3k > 1 + 2k dan 3((k² + k) + 1) juga dapat habis dibagi 3, maka (3k) + 3((k² + k) + 1) pasti dapat habis dibagi 3.
Jadi, pernyataan P(k+1) benar.
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa pernyataan 3n > 1 + 2n berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 2.
Penerapan Induksi Matematika pada Balok Domino
Mengamati efek domino dapat menjadi cara yang mudah dan menyenangkan untuk memahami prinsip induksi matematika. Kita bisa memulai dengan mengajukan pertanyaan "kapankah semua domino akan jatuh ?". Ada dua kondisi yang harus dipenuhi agar semua domino tersebut bisa jatuh. Yang pertama adalah domino "A" harus jatuh, dan yang kedua adalah setiap domino yang jatuh akan menjatuhkan tepat satu domino berikutnya.
Maka dari itu, jika domino "A" jatuh maka domino "B" pasti jatuh, jika domino "B" jatuh maka domino "C" pasti jatuh dan seterusnya. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa pernyataan P(n) = n³ + 2n dapat habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli n.
Dalam kesimpulan, artikel ini membahas penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan dan balok domino. Dengan menggunakan prinsip-prinsip induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa pernyataan P(n) = n³ + 2n dapat habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli n dan bahwa pernyataan 3n > 1 + 2n berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 2.